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对于数学归纳法的学习和运用(三)
合肥家教网   编辑:合肥向上家教   更新日期:2012-1-12
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    数学归纳法,合肥家教网老师说对于同学们无论在中学阶段还是在大学阶段的数学学习,都是一个经常用到的工具,因此是高中代数的一个重点。由于它所解决的问题五花八门,应用时的情况扑塑迷离,所以,它又是高中数学的一个难点。

   2o 、若n=k(k N)时,等式成立,即

          1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2                                ①

         1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]

        =k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2。

即n=k+1时,等式成立。综合10与20,等式对于一切n N成立。

证法二    (从证法一的①式开始)

\(k+1)[(k+1)+1]2=(k+1)[(k+1) 2+ (2k+3)]

  =k(k+1) +(k+1) +(k+1)(2k+3)

  =k(k+1)2 +(k+1)[(k+1)+2k+2+1]

=K(k+1) 2 +(k+1)[3(k+1)+1]

=1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1].

即  n=k+1时,等式成立(以下略)

证法三  (从证法一的①式开始)

若需证n=k+1时等式成立,只需证

1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1] ,               ②

②成立,则只需证

             (k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1] -k(k+1) 

成立,即只需证

                         3k+3+1=k2+4k+4-k2-k                              ③

成立。而③式显然成立。故n=k+1时,等式成立(以下略)。

说明 [1]法一是从欲证的n=k+1时的等式的左端化向它的右端。证法二则相反。从这两个的证法比较来就看,以从复杂端(本题是左端)化向简单端,比较易于思考。

[2] 证法三是通过对欲证等式的逆推分析(通常所称的分析法),把证明等式转化为证明条件等式(在本题例为②式),降低了思考的难度,转化的方式等价②式-①式,对于用数学归纳法证明较复杂的不等式,这种方法尤可降低思维的难度,这将在下一个例子的“证法一”中明显的表现出来.

[3]无论哪种证法,都利用了归纳假设中写出的具体等式,在要求必须应用数学归纳法来完成证明的题目里,如果没有利用归纳假设,不能被认为是正确的解答。

    对于数学归纳法的学习和运用(一)

    对于数学归纳法的学习和运用(二)

    对于数学归纳法的学习和运用(三)

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